由連續(xù)傅里葉變換到離散傅里葉變換的過程
連續(xù)和離散傅里葉變換
連續(xù)傅里葉變換
對(duì)于一個(gè)連續(xù)信號(hào)
玉罐，每隔一段周期
進(jìn)行采樣，采樣時(shí)間從0開始潘拨，總共采樣M次吊输，那么可以描述為
對(duì)其做傅里葉變換得到
現(xiàn)在假設(shè)有這樣一個(gè)信號(hào)
那么他的傅里葉變換如下
如果采樣點(diǎn)是100個(gè)，可以得到他的振幅結(jié)果如下圖
如果增加采樣點(diǎn)到300個(gè)
這里可以看到兩個(gè)兩個(gè)現(xiàn)象铁追。第1是本來應(yīng)該只存在兩個(gè)峰值季蚂，但是實(shí)際看到的是峰值周邊還存在一些其他信號(hào)。第2是在離散傅里葉變換的情況下琅束，如果對(duì)信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)零也能看到峰值信號(hào)旁的這些多余的峰值扭屁。
現(xiàn)在將上述特例改成一個(gè)更加普遍的例子，令
以測(cè)量點(diǎn)數(shù)作為變量狰闪，觀察不同測(cè)量點(diǎn)數(shù)情況下的傅里葉變換情況
進(jìn)一步簡化上述公式后疯搅，可以看到這個(gè)和多縫衍射公式其實(shí)是相同的。
離散傅里葉
離散傅里葉變換公式如下埋泵，
對(duì)照連續(xù)傅里葉變換公式
可以看出幔欧，離散傅里葉就是對(duì)連續(xù)傅里葉變換進(jìn)行抽樣
舉例
為了證明離散傅里葉是對(duì)連續(xù)傅里葉變換的抽樣，下面舉一個(gè)例子丽声。假設(shè)一個(gè)正弦信號(hào)礁蔗，頻率為1Hz，采樣頻率100Hz雁社，總時(shí)長為1s
如果信號(hào)是離散翻頁里的浴井，那么離散傅里變換，在復(fù)數(shù)空間可以表示為
如果是一個(gè)連續(xù)信號(hào)霉撵，可以得到信號(hào)連續(xù)傅里葉頻譜磺浙，然后在去對(duì)傅里葉頻譜取離散的值，可以得到和離散傅里葉變換相同的結(jié)果
連續(xù)信號(hào)下的傅里變化
離散傅里葉采樣間隔為100Hz徒坡，因?yàn)?img src="/ueditor/image/20241015/1728984431414221.png" title="1728984431414221.png" />撕氧；總長度為101，所以M=100喇完；z高采樣頻率為
伦泥，頻率采樣間隔為
，初始頻率為0锦溪。依據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)連續(xù)傅里葉變換進(jìn)行采樣
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