卷積核
卷積核
函數(shù)濾波奏司，除了在傅里葉平面的濾波外乔询，還可以采用卷積的方法進(jìn)行濾波。這里以高斯函數(shù)為例韵洋，對信號濾波哥谷，高斯函數(shù)形式為
其中
指代方差當(dāng)
=1時(shí)，函數(shù)的的傅里葉變化結(jié)果為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為3麻献， 其傅里葉變換后的公式為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為5们妥， 其傅里葉變換公式為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為7，其傅里葉變換公式為
當(dāng)
=4時(shí)勉吻，函數(shù)的的傅里葉變化結(jié)果為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為3监婶， 其傅里葉變換后的公式為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為5， 其傅里葉變換公式為
若高斯函數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為7齿桃，其傅里葉變換公式為
上述兩個(gè)例子惑惶，一個(gè)時(shí)增加高斯函數(shù)的采樣寬度，即卷積核的大小短纵，可以令低通濾波器迅速下降带污，增加
會減小低通濾波器的帶寬。
上述例子橫軸取值范圍時(shí)保持在
之間香到，如果將范圍進(jìn)一步口中到[-6\[Pi], 6\[Pi]]之間鱼冀，并且仍舊時(shí)以
=1作為例子，采樣點(diǎn)數(shù)為3
從曲線可以看出悠就，高頻信號是沒有截至的千绪。因此認(rèn)為，如果使用這種類型的高斯低通濾波器梗脾，可以改善吉布斯的效應(yīng)荸型。
例子1- 正弦信號
信號采用兩個(gè)正弦信號疊加而成，其中一個(gè)是低頻正弦炸茧，另一個(gè)是高頻正弦瑞妇。通過低通濾波器后，低頻信號可以被保留梭冠，高頻信號被抑制辕狰。信號長度為201， 對其傅里葉區(qū)間做濾波妈嘹，濾波區(qū)間令61~141的值都為零
經(jīng)過濾波后柳琢，信號兩端因?yàn)榧妓宫F(xiàn)象，出現(xiàn)明顯的振鈴润脸。
如果采用高斯低通濾波器柬脸，構(gòu)建一個(gè)類似的低通濾波器，卷積核大小為11毙驯， 方差設(shè)置為2.5倒堕，得到的濾波器形狀為
經(jīng)過低通濾波器后的波形為
例子2-矩形
因?yàn)樯鲜隼涌赡懿⒉皇翘貏e明顯，使用一個(gè)矩形作為例子爆价，信號波形如圖所示
同樣是將傅里葉區(qū)間61~141個(gè)像素置零后垦巴，作為一個(gè)低通濾波器，得到的信號在邊沿還是有明顯的吉布斯現(xiàn)象
如果采用卷積的方式铭段，在傅里葉頻譜范圍內(nèi)濾除了高頻信號骤宣，但是在傅里葉區(qū)間的范圍外的高頻信號卻能夠保留。
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