Lecture 2
線性函數(shù)和例子
線性方程和函數(shù)
工程例子
解釋
筑基：斯坦福 線性動力系統(tǒng)導(dǎo)論——第二課
1Lecture 2 線性函數(shù)和例子
●線性方程和函數(shù)
●工程例子
●解釋
2線性方程
考慮一個(gè)線性方程描述的系統(tǒng)
可以寫成y=Ax的矩陣形式
3線性函數(shù)
函數(shù)f : Rn → Rm是線性的允扇，當(dāng)
f(x + y) = f(x) + f(y), ?x,y∈Rn
f(αx) = αf(x), ?x∈Rn?α∈R
4矩陣乘法函數(shù)
●考慮函數(shù)f : Rn → Rm，f(x)=Ax,其中A∈Rm×n
●矩陣乘法函數(shù)是線性的
●逆命題也成立：任何線性函數(shù)f : Rn → Rm 可以寫為
f(x) = Ax 则奥，A∈Rm×n
●通過矩陣乘法唯一表示：對任意的線性函數(shù)f考润，對于所有的x滿足f(x)=Ax，存在唯一的矩陣A
5y=Ax的解釋
●y代表測量或觀察逞度，x是需要確定的未知
●x是輸入或行為额划，y是輸出或結(jié)果
●y=Ax定義了一個(gè)函數(shù)或變換，其將x∈Rn 映射到y(tǒng)∈Rm
9aij的解釋
aij是從第j個(gè)輸入(xj)到第i個(gè)輸出(yi)的增益系數(shù)
所以档泽，
●A的第i行涉及第i個(gè)輸出
●A的第j列涉及第j個(gè)輸入
●a27=0意味著第2個(gè)輸出(y2)不取決于第7個(gè)輸入(x7)
●|a31|>>|a3j|俊戳，當(dāng)j≠1意味著y3僅僅取決于x1
●|a52|>>|ai2|，當(dāng)i≠5馆匿，意味著x2主要影響y5
●當(dāng)A是下三角矩陣抑胎，即當(dāng)i ●當(dāng)A是對角矩陣時(shí)阿逃，即i≠j時(shí)，aij=0赃蛛，意味著第i個(gè)輸出只取決于第i個(gè)輸入 10線性彈性結(jié)構(gòu) ●xj是作用在某個(gè)節(jié)點(diǎn)上的外部施加力，方向固定 ●yi(很小)是某個(gè)節(jié)點(diǎn)在外部施加力下產(chǎn)生的撓曲呕臂，方向固定 （考慮到x,y都很衅仆小），可以得到y(tǒng)≈Ax ●aij給定了在j處每單位力(m/N)產(chǎn)生的撓曲i 11剛體上的合力/扭矩 ●xj是施加在某一點(diǎn)/方向/軸上的外部力/扭矩 ●y∈R6 是剛體上產(chǎn)生的合力&扭矩 （y1,y2,y3是x-,y-,z-分量的合力歧蒋， y4,y5,y6是x-土砂，y-，z-分量的合扭矩） ●有y=Ax ●A取決于幾何形態(tài)(相對于重心CG施加的力和扭矩) ●第j列給出單位力/力矩的合力合扭矩 12線性靜態(tài)電路 電阻谜洽、線性依賴(被控制的)源和獨(dú)立源的連接 ●xj是第j個(gè)獨(dú)立源 ●yi是一些電路變量(電壓萝映，電流) ●有y=Ax ●如果xj是電流，yi是電壓阐虚，A則稱為阻抗或電阻矩陣 13在外部力作用下物質(zhì)的最終位置/速度 ●單位質(zhì)量物質(zhì)序臂，在t=0的時(shí)候處于0位置/速度，在0≤t≤n受到力f(t) ●f(t)=xj实束，j-1≤t ●y1磕洪，y2是最終的位置和速度(在t=n時(shí)刻) ●有y=Ax ●a1j是在j-1≤t ●a2j是在j-1≤t 14熱系統(tǒng) ●xj是第j個(gè)加熱元件或熱源的功率 ●yi是位置i處穩(wěn)態(tài)溫度的變化 ●通過熱傳導(dǎo)完成熱傳輸 ●y=Ax ●aij表示位置i處熱源j的影響 ●A的第j列給出熱源j在1W功率時(shí)穩(wěn)態(tài)溫度上升的模式 ●A的第i行表示各個(gè)熱源對位置i的影響 15多個(gè)光源照明 ●n個(gè)光源照射m個(gè)小而平的塊(patch)吭练，無陰影 ●xj是第個(gè)光源的功率，yi是第i個(gè)塊的照明水平 ●y=Ax,aij=rij-2max{cosθij,0} (cosθij<0意味著第i個(gè)塊與光源j之間是遮擋的) ●A的第j列描述光源j的照明模式 16無線系統(tǒng)中的信號和干擾功率 ●n個(gè)發(fā)射器/接收器對 ●發(fā)射器j向接收器i發(fā)送(并且不經(jīng)意間發(fā)送到其它接收器) ●pj是第j個(gè)發(fā)射器的功率 ●si是第i個(gè)接收器接收到的信號功率 ●zi是第i個(gè)接收器接收到的干擾功率 ●Gij是從發(fā)射器j到接收器i的路徑增益 ●有s=Ap,z=Bp,其中 17生產(chǎn)成本 生產(chǎn)投入(材料析显、零件鲫咽、勞動力......)組合起來制造一系列產(chǎn)品 ●xj是每單位生產(chǎn)投入j的價(jià)格 ●aij是制造單位產(chǎn)品i所需要的生產(chǎn)投入j的單位量 ●yi是每單位產(chǎn)品i需要的生產(chǎn)成本 ●有y=Ax ●A的第i行是生產(chǎn)單位產(chǎn)品i所需的材料賬單 生產(chǎn)所需投入 ●qi是要生產(chǎn)產(chǎn)品i的量 ●rj是生產(chǎn)所需輸入j的總量 ●有 總生產(chǎn)成本為 18線性化 ●如果f : Rn → Rm，在x0∈Rn可微谷异，則 x在x0附近?f(x)很接近f(x0)+Df(x0)(x-x0)分尸，其中 是導(dǎo)數(shù)(雅可比)矩陣 ●y=f(x),y0=f(x0),定義輸入偏差(derivation)δx:=x-x0歹嘹，輸出偏差δy:=y-y0 ●有δy≈Df(x0)δx ●當(dāng)偏差很小的時(shí)候箩绍，用一個(gè)線性函數(shù)將它們(δx和δy)近似聯(lián)系起來 19通過距離測量來導(dǎo)航 ●(x,y)是平面上的未知坐標(biāo) ●(pi,qi)是已知的信標(biāo)(beacons)坐標(biāo)，i=1尺上，2材蛛，3圆到，4 ●ρi測量從信標(biāo)i到未知點(diǎn)的距離 ●ρ∈R4是(x,y)∈R2的一個(gè)非線性函數(shù)： ●在(x0,y0)附近作線性化： 其中， ●A的第i行顯示(x, y)從(x0, y0)的(小)偏移距離測量的(近似)變化 ●A的第一列表示距離測量對x從x0的(小)變化的敏感性 20廣泛的應(yīng)用類別 線性模型或函數(shù)y=Ax 一些更廣泛的應(yīng)用類別： ●估算或求逆 ●控制或設(shè)計(jì) ●映射或變換 21估算或求逆 ●yi是第i個(gè)測量或傳感器讀取(已知的) ●xj是第j個(gè)需要估算或確定的參數(shù) ●aij是第i個(gè)傳感器對第j個(gè)參數(shù)的靈敏度 問題示例： ●給定y卑吭，確定x ●找到導(dǎo)致y的所有x ●如果沒有x滿足y=Ax,則芽淡，找到x滿足y≈Ax 22控制或設(shè)計(jì) ●x是設(shè)計(jì)參數(shù)向量或輸入向量 ●y是結(jié)果向量或輸出 ●A描述輸入選擇如何影響結(jié)果 問題示例： ●找到x，使得y=ydes ●找到導(dǎo)致y=ydes的所有x ●在滿足y=ydes的x中豆赏，找到最小的那個(gè) 23映射或變換 ●x由線性函數(shù)y=Ax映射或變換到y(tǒng) 問題示例： ●確定是否存在x映射到給定的y ●(如果可能)找到映射到y(tǒng)的x ●找到映射到給定y的所有的x ●如果只有一個(gè)x映射到y(tǒng),找到它(即解碼或撤銷映射) 24矩陣乘法作為列的混合 將A∈Rm×n寫為列的組成： 其中aj∈Rm y=Ax可以寫為 （xj是標(biāo)量，aj是m向量） ●y是A的列的線性組合 25一個(gè)重要的例子：x=ej掷邦，第j個(gè)單位向量 那么Aej=aj,A的第j列 26矩陣乘法作為與行的內(nèi)積 將A寫為行向量混合的形式： 其中 那么y=Ax可以寫為 即yi是A的第i行和x的內(nèi)積 幾何解釋： 27框圖表示 y=Ax可以用信號流圖或框圖表示 例：m=n=2,有 框圖表示為 ●aij是從j輸入到i輸出的增益 例子：塊上三角矩陣 x和y相應(yīng)的分塊 其中 從而 框圖表示為： 即y2不取決于x1 參考文獻(xiàn)：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd 關(guān)于昊量光電： 上海昊量光電設(shè)備有限公司是國內(nèi)知名光電產(chǎn)品專業(yè)代理商白胀，代理品牌均處于相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展前沿；產(chǎn)品包括各類激光器抚岗、光電調(diào)制器或杠、光學(xué)測量設(shè)備、精密光學(xué)元件等苟跪，涉及應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了材料加工廷痘、光通訊、生物醫(yī)療件已、科學(xué)研究笋额、國防及更細(xì)分的前沿市場如量子光學(xué)、生物顯微篷扩、物聯(lián)傳感兄猩、精密加工、先進(jìn)激光制造等鉴未；可為客戶提供完整的設(shè)備安裝枢冤，培訓(xùn)，硬件開發(fā)铜秆，軟件開發(fā)淹真，系統(tǒng)集成等優(yōu)質(zhì)服務(wù)。 您可以通過昊量光電的官方網(wǎng)站www.wjjzl.com了解更多的產(chǎn)品信息连茧，或直接來電咨詢4006-888-532核蘸。 本文章經(jīng)光學(xué)前沿授權(quán)轉(zhuǎn)載,商業(yè)轉(zhuǎn)載請聯(lián)系獲得授權(quán)。
是Rn上的一個(gè)超平面(垂直于對應(yīng)列向量)
