筑基：斯坦福 線性動力系統(tǒng)導(dǎo)論——第一課
1Lecture 1 概覽
●預(yù)備知識
●主題和大綱
●什么是線性動力系統(tǒng)
●為什么要研究線性系統(tǒng)
●一些例子
2預(yù)備知識
●了解線性代數(shù)
●了解Laplace變換和蚪，微分方程
不需要，但是有助于理解的有：
●控制系統(tǒng)(control systems)
●電路&系統(tǒng)(circuits & systems)
●dynamics
3主題和大綱
●線性代數(shù)&應(yīng)用
●自治線性動力系統(tǒng)(autonomous linear dynamical systems)
●有輸入輸出的線性動力系統(tǒng)
●基本二次控制和估計(basic quadratic control & estimation)
4線性動力系統(tǒng)
連續(xù)時間動力系統(tǒng)(continuous-time linear dynamical system,CT LDS)的形式為：
其中：
●t ∈ R表示時間
●x(t)∈ Rn是狀態(tài)(state,是向量)
●u(t)∈ Rm是輸入或控制
●y(t)∈ Rp是輸出
●A(t)∈ Rn×n 是動態(tài)矩陣(dynamics matrix)
●B(t)∈ Rn×m 是輸入矩陣
●C(t)∈ Rp×n是輸出矩陣或傳感器矩陣(sensor matrix)
●D(t)∈ Rp×m 是饋通矩陣(feedthrough matrix)
方程可以簡寫為
● CT LDS 是一階矢量微分方程
●也被稱為狀態(tài)方程(state equations)或”m-輸入烹棉，n-狀態(tài)攒霹，p-輸出”LDS
5一些LDS術(shù)語
●通常遇到的線性系統(tǒng)大多是時不變的：A,B,C,D為常量，即與時間t無關(guān)
●當(dāng)沒有輸入u(因此浆洗，沒有B或D)的系統(tǒng)被稱為自主的(autonomous)
●大多數(shù)時候沒有饋通催束，即D=0
●當(dāng)u(t)和y(t)是標(biāo)量時，系統(tǒng)被稱為單輸入伏社，單輸出的(single-input抠刺，single-out塔淤，SISO)；當(dāng)輸入和輸出信號維度大于1時速妖，稱為MIMO(multi-input,multi-out)
6離散時間線性動力系統(tǒng)
離散時間線性動力系統(tǒng)(discrete-time linear dynamical system, DT LDS)的形式為
●t ∈ Z = { 0, ± 1, ± 2,.. . }
●(向量)信號x, u, y是序列(sequences)
DT LDS是一階矢量遞歸(recursion)
7為什么研究線性系統(tǒng)高蜂？
●許多領(lǐng)域涌現(xiàn)出了應(yīng)用，如：
●自動控制系統(tǒng)
●信號處理
●通訊
●經(jīng)濟(jì)罕容、金融
●電路分析备恤、仿真、設(shè)計
●機(jī)械和土木工程
●航空學(xué)
●導(dǎo)航锦秒、引導(dǎo)
8LDS的用處
●取決于可用的算力露泊，所需算力很大且呈指數(shù)增長
●被用于
-分析和設(shè)計
-執(zhí)行，嵌入到實(shí)時系統(tǒng)里
9起源和歷史
●LDS的部分理論可追溯到19世紀(jì)
●基于經(jīng)典電路和系統(tǒng)(1920年代)旅择，但是更強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)
●第一個工程應(yīng)用：1960年代的航空航天
●1980年代從特別話題過渡到無處不在(就像數(shù)字信號處理惭笑，信息論等一樣)
10非線性動力系統(tǒng)
既然許多動力系統(tǒng)是非線性的，為什么研究線性系統(tǒng)生真？
●用于非線性系統(tǒng)的大多數(shù)技術(shù)是基于線性方法的
●如果不理解線性動力系統(tǒng)沉噩，那你也不可能理解非線性動力系統(tǒng)
11例子(示意，無細(xì)節(jié))
●考慮一個特定的系統(tǒng)
x(t) ∈ R16 , y(t) ∈ R (一個16個狀態(tài)一個輸出的系統(tǒng))
典型的輸出為
●輸出的波形很復(fù)雜汇歹，看起來幾乎是隨機(jī)且很難理解
●這種解可以被分解為更簡單的成分
12輸入設(shè)計
增加兩個輸入屁擅，兩個輸出到系統(tǒng)里：
其中，B∈ R16×2, C ∈ R2×16（A與上同）
問題：找到合適的u : R+ → R2 所以 y(t) → ydes = (1, ?2)
簡單方法：考慮靜態(tài)條件(u,x,y是常量)：
得到u的解為：
直接應(yīng)用u=ustatic产弹，只需等待事情解決：
y(t)收斂到y(tǒng)des耗時約1500s
使用更聰明的輸入波形可以收斂更快派歌，如：
耗時約50s
在這個課程我們將研究
●如何合成或設(shè)計這樣的輸入
●u的大小和收斂時間之間的平衡
13估計(estimation)/濾波(filtering)
●信號u是分段常量(周期1s)
●被2階系統(tǒng)H(s)過濾，step response s(t)
●A/D 10Hz,3-bit數(shù)字化
問題：給定數(shù)字化濾波后的信號y痰哨，估計原始信號u
簡單方法：
●忽略數(shù)字化
●設(shè)計均衡器(equalizer) G(s),即GH≈1
●近似u為G(s)y
...產(chǎn)生難以接受的結(jié)果
參考文獻(xiàn)：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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