傅里葉變換透鏡（一）

正文

傅里葉變換透鏡（一）

光學(xué)鏡頭既能作為成像傳遞信息的工具壤玫，又可以作為計(jì)算元件豁护。具有傅里葉變換的能力、為這個(gè)目的而設(shè)計(jì)的鏡頭稱為傅里葉變換鏡頭欲间。這種鏡頭結(jié)構(gòu)簡單楚里，信息容量大，具有進(jìn)行運(yùn)算和處理信息的能力括改，而且運(yùn)算速度為光速腻豌，故應(yīng)用日趨廣泛，常用作圖像頻譜分析嘱能、空間濾波和相關(guān)處理等工作吝梅，是光學(xué)信息處理系統(tǒng)中較重要的部分。

下圖1是由兩個(gè)傅里葉變換透鏡串聯(lián)而成的一個(gè)空間濾波系統(tǒng)惹骂。

圖1

為了獲得嚴(yán)格的傅里葉變換關(guān)系苏携，應(yīng)該把被處理面（輸入面）放在透鏡的前焦面上，頻譜面（濾波面）置于后焦面上对粪，它同時(shí)又是起傅里葉反變換作用的下一個(gè)透鏡的前焦面右冻，從而在后焦面上得到輸出信息。

光學(xué)信息處理中的傅里葉變換透鏡所能傳遞得到信息容量為：

上式中著拭，是輸入面的直徑(mm)纱扭，如下圖2所示，相當(dāng)于常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)中的物面直徑儡遮，是能處理的Z高空間頻率(lp/mm)乳蛾。衍射極限的相干光學(xué)系統(tǒng)的截止頻率為

上式中，為頻譜面的半徑(mm)，為傅里葉變換透鏡的焦距(mm)肃叶，是光波波長(mm)蹂随。所以

相當(dāng)于幾何光學(xué)中物高，相當(dāng)于幾何光學(xué)中的孔徑角因惭，即信息容量W實(shí)質(zhì)上等價(jià)于幾何光學(xué)中的拉氏不變量 岳锁。對于信息系統(tǒng)J表示能傳遞的信息量大小，對于成像系統(tǒng)J表示傳遞能量的大小蹦魔。從而從光學(xué)設(shè)計(jì)的角度看激率，J表征了光組本身的設(shè)計(jì)、制造的難度勿决。

圖2

傅里葉變換透鏡要求對兩對物像共軛位置校正像差柱搜。當(dāng)平行光照射輸入面上的物體，如光柵時(shí)剥险、發(fā)生衍射。不同方向的衍射光束經(jīng)傅里葉變換透鏡后宪肖，在頻譜面上形成夫瑯和費(fèi)術(shù)射圖樣表制。為使圖樣清晰，各級(jí)衍射光束必須具有準(zhǔn)確的光程控乾。所以么介，傅里葉變換透鏡必須使無窮遠(yuǎn)入射的平行光束在后焦面上完善地成像；第二對必須控制像差的共軛乎面是以輸入面作為物體,對應(yīng)的像在像方無窮遠(yuǎn)蜕衡，如下圖3所示壤短。

圖3

為了減少雜散光和保證所需要的直徑，宜在輸入面與頻譜面上放置光闌慨仿，以控制輸入面與頻譜面的大小久脯，而且不能使傅里葉變換透鏡本身的外徑起攔光作用。輸入面和頻譜面中的任一個(gè)都可以視為孔徑光闌镰吆，而另一個(gè)視為視場光闌帘撰，與此對應(yīng)有兩種處理方法，一種是物在無窮遠(yuǎn)万皿，孔闌在前焦面摧找，為像方遠(yuǎn)心光路；另一種是物在前焦面牢硅，孔闌是后焦面蹬耘，為物方遠(yuǎn)心光路。兩種處理方法的幾何光路與Z終效果完全相同减余。無論用何種方法都必須同時(shí)控制物面像差和光闌像差综苔，即對兩對共軛面校正像差。

若以輸入面為孔徑光闌來考慮，假設(shè)m級(jí)衍射光與光軸的夾角為休里，則按照衍射理論

上式中蛆挫，d為光柵常數(shù)，m為衍射級(jí)次妙黍。

為使各譜線的像高 成線性分布悴侵，像高 應(yīng)該有：

式1

由像差理論知，平行于光軸入（出）射的光線拭嫁，正弦條件為 或可免，即平行于光軸出射的主光線滿足正弦條件，恰好就是保證（16-28）式成立的必要條件做粤。

傅里葉變換透鏡要求全視場內(nèi)的像質(zhì)達(dá)到衍射極限浇借，即波像差＜(1/4-1/10) 。若以輸入面為孔闌怕品，則校正物面像差等價(jià)于校正頻譜面像差妇垢，校正光闌像差等價(jià)于校正輸入面像差。由像差理論可知肉康，物面畸變與光闌彗差間應(yīng)滿足下列關(guān)系：

據(jù)此闯估，傅里葉變換透鏡為滿足式1，當(dāng)主光線滿足正弦條件的時(shí)候吼和，必存在物面畸變涨薪。

當(dāng)滿足無畸變的共線成像關(guān)系時(shí)，常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)主面是平面炫乓，譜面上無畸變的理想像高刚夺，而傅里葉變換透鏡要求像高，相當(dāng)于主面是一個(gè)以焦點(diǎn)為中心的球面末捣。傅里葉變換透鏡的畸變?yōu)?/p>

因此侠姑，以常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)作為傅氏變換透鏡時(shí)，Z大譜面范圍由譜點(diǎn)位置的非線性誤差所限制箩做。

傅氏變換透鏡一般能對物面校正球差结借、彗差、像散卒茬、場曲船老，整個(gè)視場內(nèi)像質(zhì)達(dá)到衍射極限，且對光闌位置校正球差圃酵、彗差柳畔。若傅氏變換透鏡需供多個(gè)波長同時(shí)工作,則應(yīng)按常規(guī)方案校正色差。若在一定時(shí)間內(nèi)只供某一特定波長工作郭赐，則應(yīng)保留較大的負(fù)軸向色差薪韩，如下圖4所示确沸，以改善每種單色光的波像差。但使用時(shí)必須對不同波長選用不同的焦面位置俘陷，來補(bǔ)償色差的校正不足罗捎。

圖4

相關(guān)文獻(xiàn)：

《幾何光學(xué) 像差 光學(xué)設(shè)計(jì)》（第三版）——李曉彤 岑兆豐

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