3D成像機(jī)器視覺基礎(chǔ)知識(shí)（四）張正友標(biāo)定方法（張氏標(biāo)定法）

正文

張正友標(biāo)定方法是用于求解相機(jī)內(nèi)參和畸變系數(shù)的經(jīng)典方法。

我們以表示像素坐標(biāo)，以表示世界坐標(biāo)芋簿。張氏標(biāo)定法利用棋盤格標(biāo)定板進(jìn)行標(biāo)定。

利用相應(yīng)的圖像檢測算法可以得到每一個(gè)角點(diǎn)的像素坐標(biāo)查辩。同時(shí)，張正友標(biāo)定法規(guī)定网持，世界坐標(biāo)系固定于棋盤格上宜岛，則棋盤格上的

任意一點(diǎn) 。因此功舀，角點(diǎn)的像素坐標(biāo) 對應(yīng)的世界坐標(biāo)系下的谬返。利用這一關(guān)系求解得出相機(jī)的內(nèi)參矩陣，外參矩陣和畸變參數(shù)日杈。

張正友標(biāo)定法求解內(nèi)參矩陣和外參矩陣

先后思路：求解內(nèi)參矩陣和外參矩陣的積-->求解內(nèi)參矩陣-->求解外參矩陣。

單點(diǎn)無畸變相機(jī)成像模型為：

其中為尺度因子佑刷； 是像素坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)莉擒；是相機(jī)的內(nèi)參矩陣，包含仿射變換和透視投影瘫絮；是外參矩陣涨冀，包含剛體旋轉(zhuǎn)矩陣和平移變換矩陣；是世界坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)麦萤。

因?yàn)?img src="/ueditor/image/20200723/1595469995594687.png" title="1595469995594687.png" />式可簡化為：

其中鹿鳖，是旋轉(zhuǎn)矩陣的前兩列扁眯。同時(shí)為了簡便將內(nèi)參矩陣記為 

對于不同圖片為定值；對于同一張圖片為定值翅帜，外參矩陣為定值姻檀；對于同一張圖片上的同一點(diǎn)，為定值涝滴，外參矩陣

為定值绣版，尺度因子為定值。

求解內(nèi)參矩陣和外參矩陣的積

將內(nèi)參矩陣和外參矩陣的積記為 歼疮，根據(jù)式杂抽，則有：

解上式可消去尺度因子，得：

 

由于尺度因子已經(jīng)被消掉韩脏，上式對于同一張圖片上的角點(diǎn)全部成立缩麸。

至此，角點(diǎn)像素坐標(biāo)和對應(yīng)的角點(diǎn)世界坐標(biāo)系下坐標(biāo)都是已知的赡矢。

當(dāng)圖片標(biāo)定角點(diǎn)數(shù)量大于計(jì)算所需時(shí)杭朱，利用最小二乘法回歸最佳的矩陣。

至此济竹，內(nèi)參矩陣和外參矩陣的積已經(jīng)求出痕檬。

求解內(nèi)參矩陣

已知矩陣；同時(shí)和是旋轉(zhuǎn)矩陣的兩列送浊，存在單位正交關(guān)系梦谜。于是有正交約束方程：

 

且，由于和的關(guān)系袭景，可知：

 

帶入可得：

 

令 唁桩，則為對稱矩陣∷拾簦可以先求出矩陣荒澡，再求出內(nèi)參矩陣。

同時(shí)与殃，令：

則：

 

 

注意：由于為對稱矩陣单山，部分元素出現(xiàn)了兩次。

式可化為：

 

求解：

令幅疼，

 

則：米奸， 式可化為：

即：

其中，矩陣中的所有元素由 的元素構(gòu)成爽篷，且已知悴晰，因此已知。

此時(shí)，我們只要求解出向量铡溪，即可得到矩陣漂辐。每張標(biāo)定板圖片可以提供一個(gè)的約束關(guān)系，該約束關(guān)系含有兩個(gè)約束方程棕硫。但是髓涯，向量有6個(gè)未知元素。因此饲帅，單張圖片提供的兩個(gè)約束方程是不足以解出來向量复凳。因此，我們只要取3張標(biāo)定板照片灶泵，得到3個(gè)的約束關(guān)系育八，即6個(gè)方程，即可求解向量赦邻。當(dāng)標(biāo)定板圖片的個(gè)數(shù)大于3時(shí)（事實(shí)上一般需要15到20張標(biāo)定板圖片）髓棋，可采用最小二乘法擬合最佳的向量，并得到矩陣惶洲。

根據(jù)式中的矩陣的元素和相機(jī)內(nèi)參的對應(yīng)關(guān)系按声，可以得到：

可以得出相機(jī)的內(nèi)參矩陣：

求解外參矩陣

已知：；同時(shí)恬吕，我們已經(jīng)求解得到了矩陣（對于同一張圖片相同签则，對于不同的圖片不同）、矩陣（對于不同的圖片

都相同）铐料。通過公式：渐裂，即可求得每一張圖片對應(yīng)的外參矩陣。